(x-1)(x-8)/(x-1)(x-4)(x-6)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 8\right) \left(x - 1\right)}{x - 1} \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 8\right) \left(x - 1\right)}{x - 1} \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 8\right) \left(x - 1\right)}{x - 1} \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 8 = 0$$
$$x - 6 = 0$$
$$x - 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 8 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 8$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 8
2.
$$x - 6 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 6$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 6
3.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x3 = 4
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = 4$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = 4$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = 8$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 4$$
=
$$\frac{39}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 8\right) \left(x - 1\right)}{x - 1} \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \leq 0$$
$$\frac{\left(-8 + \frac{39}{10}\right) \left(-1 + \frac{39}{10}\right)}{-1 + \frac{39}{10}} \left(-4 + \frac{39}{10}\right) \left(-6 + \frac{39}{10}\right) \leq 0$$

-861      
----- <= 0
 1000     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 4$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 4$$
$$x \geq 6 \wedge x \leq 8$$