-10/(x-3)^2-5>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-5 - \frac{10}{\left(x - 3\right)^{2}} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-5 - \frac{10}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$-5 - \frac{10}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 - contiene un número par -2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia -2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt{10} i \sqrt{\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{10} i \sqrt{\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$$
o
$$- \frac{\sqrt{10} i \left(x - 3\right)}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$- \frac{\sqrt{10} i \left(x - 3\right)}{10} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-i*sqrt10-3/10+x/10 = sqrt(5)/5

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-i*sqrt10-3/10+x/10 = sqrt5/5

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- \frac{\sqrt{10} i \left(x - 3\right)}{10} + 3 = \frac{\sqrt{5}}{5} + 3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (3 - i*sqrt(10)*(-3 + x)/10)/x

x = 3 + sqrt(5)/5 / ((3 - i*sqrt(10)*(-3 + x)/10)/x)

Obtenemos la respuesta: x = 3 + i*sqrt(2)
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-i*sqrt10-3/10+x/10 = -sqrt(5)/5

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-i*sqrt10-3/10+x/10 = -sqrt5/5

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- \frac{\sqrt{10} i \left(x - 3\right)}{10} + 3 = 3 - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (3 - i*sqrt(10)*(-3 + x)/10)/x

x = 3 - sqrt(5)/5 / ((3 - i*sqrt(10)*(-3 + x)/10)/x)

Obtenemos la respuesta: x = 3 - i*sqrt(2)
o
$$x_{1} = 3 - \sqrt{2} i$$
$$x_{2} = 3 + \sqrt{2} i$$

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x - 3$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{2}} = - \frac{1}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 2 i p}}{r^{2}} = - \frac{1}{2}$$
donde
$$r = \sqrt{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 2 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(2 p \right)} = 1$$
y
$$- \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \pi N$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt{2} i$$
$$z_{2} = \sqrt{2} i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x - 3$$
$$x = z + 3$$

$$x_{1} = 3 + \sqrt{2} i$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{2} i$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$-5 - \frac{10}{\left(-3\right)^{2}} > 0$$

-55/9 > 0

signo desigualdades no tiene soluciones