Sr Examen
Otras calculadoras
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- Solución de desigualdades trigonométricas en línea
- Resolución de desigualdades exponenciales en línea
- Resolución de desigualdades con un módulo en línea
-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
- (x-a)(2x-1)(x+b)>0
-
(x-6)*(x+1)>0
-
6x^2+x-1>0
-
x^2<=0
-
Expresiones idénticas
- 2cos2(x+pi/ tres)<= uno
- 2 coseno de 2(x más número pi dividir por 3) menos o igual a 1
- 2 coseno de 2(x más número pi dividir por tres) menos o igual a uno
- 2cos2x+pi/3<=1
- 2cos2(x+pi dividir por 3)<=1
-
Expresiones semejantes
- 2*cos(2*x+(pi/3))<=1
- 2cos2(x-pi/3)<=1
2cos2(x+pi/3)<=1 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
2/ pi\
2*cos |x + --| <= 1
\ 3 /
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
2*cos(x + pi/3)^2 <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1$$
cambiamos
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{2} \sqrt{\left(0 w + \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}\right)^{2}} = \sqrt{1}$$
$$\sqrt{2} \sqrt{\left(0 w + \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}\right)^{2}} = \left(-1\right) \sqrt{1}$$
o
$$\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1$$
$$\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = -1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Esta ecuación no tiene soluciones
o
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{3}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \frac{4 \pi}{3}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{11 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{17 \pi}{12}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{11 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{17 \pi}{12}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{11 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{17 \pi}{12}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
$$2 \cos^{2}{\left(\left(- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
pero
Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{12}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{12} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{12}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - \frac{\pi}{12} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{12}$$
$$x \geq \frac{11 \pi}{12} \wedge x \leq \frac{17 \pi}{12}$$
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1$$
cambiamos
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{2} \sqrt{\left(0 w + \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}\right)^{2}} = \sqrt{1}$$
$$\sqrt{2} \sqrt{\left(0 w + \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}\right)^{2}} = \left(-1\right) \sqrt{1}$$
o
$$\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1$$
$$\sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = -1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
sqrt2cosx+pi/3 = 1
Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
sqrt2cosx+pi/3 = -1
Esta ecuación no tiene soluciones
o
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{3}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \frac{4 \pi}{3}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{11 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{17 \pi}{12}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{11 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{17 \pi}{12}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{11 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{17 \pi}{12}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
$$2 \cos^{2}{\left(\left(- \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
2/1 pi\
2*sin |-- + --| <= 1
\10 4 / pero
2/1 pi\
2*sin |-- + --| >= 1
\10 4 / Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{12}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{12} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{12}$$
_____ _____
/ \ / \
-------•-------•-------•-------•-------
x1 x2 x3 x4Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - \frac{\pi}{12} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{12}$$
$$x \geq \frac{11 \pi}{12} \wedge x \leq \frac{17 \pi}{12}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / / ___ ___\\ / / ___ ___\ \ / / ___ ___\ / ___ ___\ \\ | | |\/ 2 + \/ 6 || | |\/ 2 - \/ 6 | | | |\/ 2 + \/ 6 | |\/ 2 - \/ 6 | || Or|And|0 <= x, x <= atan|-------------||, And|x <= 2*pi, 2*pi + atan|-------------| <= x|, And|x <= pi - atan|-------------|, pi + atan|-------------| <= x|| | | | ___ ___|| | | ___ ___| | | | ___ ___| | ___ ___| || \ \ \\/ 6 - \/ 2 // \ \\/ 2 + \/ 6 / / \ \\/ 2 - \/ 6 / \\/ 2 + \/ 6 / //
$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)}\right) \vee \left(x \leq 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + 2 \pi \leq x\right) \vee \left(x \leq \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)} \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi \leq x\right)$$
((0 <= x)∧(x <= atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(sqrt(6) - sqrt(2)))))∨((x <= 2*pi)∧(2*pi + atan((sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6))) <= x))∨((pi + atan((sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6))) <= x)∧(x <= pi - atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(sqrt(2) - sqrt(6)))))
Respuesta rápida 2
[src]
/ ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\
|\/ 2 + \/ 6 | |\/ 2 - \/ 6 | |\/ 2 + \/ 6 | |\/ 2 - \/ 6 |
[0, -atan|-------------|] U [pi + atan|-------------|, pi - atan|-------------|] U [2*pi + atan|-------------|, 2*pi]
| ___ ___| | ___ ___| | ___ ___| | ___ ___|
\\/ 2 - \/ 6 / \\/ 2 + \/ 6 / \\/ 2 - \/ 6 / \\/ 2 + \/ 6 /
$$x\ in\ \left[0, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + 2 \pi, 2 \pi\right]$$
x in Union(Interval(0, -atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(-sqrt(6) + sqrt(2)))), Interval(atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6))) + pi, pi - atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(-sqrt(6) + sqrt(2)))), Interval(atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6))) + 2*pi, 2*pi))