(8x^2-2x)/(3+6x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{8 x^{2} - 2 x}{6 x + 3} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{8 x^{2} - 2 x}{6 x + 3} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{8 x^{2} - 2 x}{6 x + 3} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
3 + 6*x
obtendremos:
$$8 x^{2} - 2 x = 0$$
$$2 x \left(4 x - 1\right) = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 8$$
$$b = -2$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (8) * (0) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{8 x^{2} - 2 x}{6 x + 3} > 0$$
$$\frac{8 \left(- \frac{1}{10}\right)^{2} - \frac{\left(-1\right) 2}{10}}{\frac{\left(-1\right) 6}{10} + 3} > 0$$

7/60 > 0

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 0$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 0$$
$$x > \frac{1}{4}$$