(x+4)*(x-5)/x-3<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-3 + \frac{\left(x - 5\right) \left(x + 4\right)}{x} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-3 + \frac{\left(x - 5\right) \left(x + 4\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-3 + \frac{\left(x - 5\right) \left(x + 4\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} - 4 x - 20}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 4 x - 20 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} - 4 x - 20 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -20$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (-20) = 96

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2 + 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 2 - 2 \sqrt{6}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = 2 + 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 2 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{1} = 2 + 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 2 - 2 \sqrt{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 2 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{1} = 2 + 2 \sqrt{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 - 2 \sqrt{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10} - 2 \sqrt{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-3 + \frac{\left(x - 5\right) \left(x + 4\right)}{x} < 0$$
$$-3 + \frac{\left(-5 + \left(\frac{19}{10} - 2 \sqrt{6}\right)\right) \left(\left(\frac{19}{10} - 2 \sqrt{6}\right) + 4\right)}{\frac{19}{10} - 2 \sqrt{6}} < 0$$

     /  31       ___\ /59       ___\    
     |- -- - 2*\/ 6 |*|-- - 2*\/ 6 |    
     \  10          / \10          /    
-3 + ------------------------------- < 0
               19       ___             
               -- - 2*\/ 6              
               10                       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2 - 2 \sqrt{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2 - 2 \sqrt{6}$$
$$x > 2 + 2 \sqrt{6}$$