x+8/(x+2)*(x-7)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x + \left(x - 7\right) \frac{8}{x + 2} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x + \left(x - 7\right) \frac{8}{x + 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x + \left(x - 7\right) \frac{8}{x + 2} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
2 + x
obtendremos:
$$\left(x + 2\right) \left(x + \left(x - 7\right) \frac{8}{x + 2}\right) = 0$$
$$x^{2} + 10 x - 56 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 10$$
$$c = -56$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(10)^2 - 4 * (1) * (-56) = 324

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -14$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -14$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -14$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -14$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-14 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{141}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x + \left(x - 7\right) \frac{8}{x + 2} \leq 0$$
$$- \frac{141}{10} + \left(- \frac{141}{10} - 7\right) \frac{8}{- \frac{141}{10} + 2} \leq 0$$

-181      
----- <= 0
 1210     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -14$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -14$$
$$x \geq 4$$