((2*x-3)*(x+2))/(x-6)=<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x - 6} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x - 6} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x - 6} = 0$$
denominador
$$x - 6$$
entonces

x no es igual a 6

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 2 = 0$$
$$2 x - 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -2
3.
$$2 x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 3 / (2)

Obtenemos la respuesta: x2 = 3/2
pero

x no es igual a 6

$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{x - 6} \leq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{21}{10} + 2\right) \left(\frac{\left(-21\right) 2}{10} - 3\right)}{-6 + - \frac{21}{10}} \leq 0$$

-4/45 <= 0

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -2$$
$$x \geq \frac{3}{2}$$