(x-1)/x-(x+1)/(x-1)<2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} < 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = 2$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
x y -1 + x
obtendremos:
$$x \left(- \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x}\right) = 2 x$$
$$\frac{1 - 3 x}{x - 1} = 2 x$$
$$\frac{1 - 3 x}{x - 1} \left(x - 1\right) = 2 x \left(x - 1\right)$$
$$1 - 3 x = 2 x^{2} - 2 x$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$1 - 3 x = 2 x^{2} - 2 x$$
en
$$- 2 x^{2} - x + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -2$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (-2) * (1) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} < 2$$
$$- \frac{- \frac{11}{10} + 1}{- \frac{11}{10} - 1} + \frac{- \frac{11}{10} - 1}{- \frac{11}{10}} < 2$$

430    
--- < 2
231    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -1$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -1$$
$$x > \frac{1}{2}$$