(x^2+x+2)(x+2)(1-x)^2>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 2\right) \left(1 - x\right)^{2} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 2\right) \left(1 - x\right)^{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 2\right) \left(1 - x\right)^{2} = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 2 = 0$$
$$x^{2} + x + 2 = 0$$
$$1 - x = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -2
2.
$$x^{2} + x + 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (2) = -7

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
3.
$$1 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -1 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x4 = 1
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{4} = 1$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 2\right) \left(1 - x\right)^{2} > 0$$
$$\left(- \frac{21}{10} + 2\right) \left(2 + \left(- \frac{21}{10} + \left(- \frac{21}{10}\right)^{2}\right)\right) \left(1 - - \frac{21}{10}\right)^{2} > 0$$

-414191     
-------- > 0
 100000     

Entonces
$$x < -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -2 \wedge x < 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2