(1/2)^x+2+3(1/2)^x+1-(1/2)^x<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(\left(2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 1\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(\left(2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 1\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 3$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 60.4864878983512$$
$$x_{2} = 96.4864878983511$$
$$x_{3} = 44.4864878983512$$
$$x_{4} = 126.486487898351$$
$$x_{5} = 54.4864878983512$$
$$x_{6} = 128.486487898351$$
$$x_{7} = 122.486487898351$$
$$x_{8} = 48.4864878983512$$
$$x_{9} = 102.486487898351$$
$$x_{10} = 74.4864878983511$$
$$x_{11} = 124.486487898351$$
$$x_{12} = 82.4864878983511$$
$$x_{13} = 80.4864878983511$$
$$x_{14} = 58.4864878983512$$
$$x_{15} = 72.4864878983511$$
$$x_{16} = 50.4864878983512$$
$$x_{17} = 42.4864878983512$$
$$x_{18} = 56.4864878983512$$
$$x_{19} = 110.486487898351$$
$$x_{20} = 92.4864878983511$$
$$x_{21} = 90.4864878983511$$
$$x_{22} = 64.4864878983511$$
$$x_{23} = 52.4864878983512$$
$$x_{24} = 86.4864878983511$$
$$x_{25} = 98.4864878983511$$
$$x_{26} = 94.4864878983511$$
$$x_{27} = 106.486487898351$$
$$x_{28} = 70.4864878983511$$
$$x_{29} = 88.4864878983511$$
$$x_{30} = 112.486487898351$$
$$x_{31} = 66.4864878983511$$
$$x_{32} = 84.4864878983511$$
$$x_{33} = 46.4864878983512$$
$$x_{34} = 68.4864878983511$$
$$x_{35} = 130.486487898351$$
$$x_{36} = 100.486487898351$$
$$x_{37} = 118.486487898351$$
$$x_{38} = 78.4864878983511$$
$$x_{39} = 114.486487898351$$
$$x_{40} = 108.486487898351$$
$$x_{41} = 120.486487898351$$
$$x_{42} = 116.486487898351$$
$$x_{43} = 104.486487898351$$
$$x_{44} = 62.4864878983512$$
$$x_{45} = 76.4864878983511$$
$$x_{1} = 60.4864878983512$$
$$x_{2} = 96.4864878983511$$
$$x_{3} = 44.4864878983512$$
$$x_{4} = 126.486487898351$$
$$x_{5} = 54.4864878983512$$
$$x_{6} = 128.486487898351$$
$$x_{7} = 122.486487898351$$
$$x_{8} = 48.4864878983512$$
$$x_{9} = 102.486487898351$$
$$x_{10} = 74.4864878983511$$
$$x_{11} = 124.486487898351$$
$$x_{12} = 82.4864878983511$$
$$x_{13} = 80.4864878983511$$
$$x_{14} = 58.4864878983512$$
$$x_{15} = 72.4864878983511$$
$$x_{16} = 50.4864878983512$$
$$x_{17} = 42.4864878983512$$
$$x_{18} = 56.4864878983512$$
$$x_{19} = 110.486487898351$$
$$x_{20} = 92.4864878983511$$
$$x_{21} = 90.4864878983511$$
$$x_{22} = 64.4864878983511$$
$$x_{23} = 52.4864878983512$$
$$x_{24} = 86.4864878983511$$
$$x_{25} = 98.4864878983511$$
$$x_{26} = 94.4864878983511$$
$$x_{27} = 106.486487898351$$
$$x_{28} = 70.4864878983511$$
$$x_{29} = 88.4864878983511$$
$$x_{30} = 112.486487898351$$
$$x_{31} = 66.4864878983511$$
$$x_{32} = 84.4864878983511$$
$$x_{33} = 46.4864878983512$$
$$x_{34} = 68.4864878983511$$
$$x_{35} = 130.486487898351$$
$$x_{36} = 100.486487898351$$
$$x_{37} = 118.486487898351$$
$$x_{38} = 78.4864878983511$$
$$x_{39} = 114.486487898351$$
$$x_{40} = 108.486487898351$$
$$x_{41} = 120.486487898351$$
$$x_{42} = 116.486487898351$$
$$x_{43} = 104.486487898351$$
$$x_{44} = 62.4864878983512$$
$$x_{45} = 76.4864878983511$$
Las raíces dadas
$$x_{17} = 42.4864878983512$$
$$x_{3} = 44.4864878983512$$
$$x_{33} = 46.4864878983512$$
$$x_{8} = 48.4864878983512$$
$$x_{16} = 50.4864878983512$$
$$x_{23} = 52.4864878983512$$
$$x_{5} = 54.4864878983512$$
$$x_{18} = 56.4864878983512$$
$$x_{14} = 58.4864878983512$$
$$x_{1} = 60.4864878983512$$
$$x_{44} = 62.4864878983512$$
$$x_{22} = 64.4864878983511$$
$$x_{31} = 66.4864878983511$$
$$x_{34} = 68.4864878983511$$
$$x_{28} = 70.4864878983511$$
$$x_{15} = 72.4864878983511$$
$$x_{10} = 74.4864878983511$$
$$x_{45} = 76.4864878983511$$
$$x_{38} = 78.4864878983511$$
$$x_{13} = 80.4864878983511$$
$$x_{12} = 82.4864878983511$$
$$x_{32} = 84.4864878983511$$
$$x_{24} = 86.4864878983511$$
$$x_{29} = 88.4864878983511$$
$$x_{21} = 90.4864878983511$$
$$x_{20} = 92.4864878983511$$
$$x_{26} = 94.4864878983511$$
$$x_{2} = 96.4864878983511$$
$$x_{25} = 98.4864878983511$$
$$x_{36} = 100.486487898351$$
$$x_{9} = 102.486487898351$$
$$x_{43} = 104.486487898351$$
$$x_{27} = 106.486487898351$$
$$x_{40} = 108.486487898351$$
$$x_{19} = 110.486487898351$$
$$x_{30} = 112.486487898351$$
$$x_{39} = 114.486487898351$$
$$x_{42} = 116.486487898351$$
$$x_{37} = 118.486487898351$$
$$x_{41} = 120.486487898351$$
$$x_{7} = 122.486487898351$$
$$x_{11} = 124.486487898351$$
$$x_{4} = 126.486487898351$$
$$x_{6} = 128.486487898351$$
$$x_{35} = 130.486487898351$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{17}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{17} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 42.4864878983512$$
=
$$42.3864878983511$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(\left(2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 1\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 3$$
$$- \frac{1}{2^{42.3864878983511}} + \left(1 + \left(\frac{3}{2^{42.3864878983511}} + \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{42.3864878983511} + 2\right)\right)\right) < 3$$

3.00000000000052 < 3

pero

3.00000000000052 > 3

Entonces
$$x < 42.4864878983512$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 42.4864878983512 \wedge x < 44.4864878983512$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x17      x3      x33      x8      x16      x23      x5      x18      x14      x1      x44      x22      x31      x34      x28      x15      x10      x45      x38      x13      x12      x32      x24      x29      x21      x20      x26      x2      x25      x36      x9      x43      x27      x40      x19      x30      x39      x42      x37      x41      x7      x11      x4      x6      x35

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > 42.4864878983512 \wedge x < 44.4864878983512$$
$$x > 46.4864878983512 \wedge x < 48.4864878983512$$
$$x > 50.4864878983512 \wedge x < 52.4864878983512$$
$$x > 54.4864878983512 \wedge x < 56.4864878983512$$
$$x > 58.4864878983512 \wedge x < 60.4864878983512$$
$$x > 62.4864878983512 \wedge x < 64.4864878983511$$
$$x > 66.4864878983511 \wedge x < 68.4864878983511$$
$$x > 70.4864878983511 \wedge x < 72.4864878983511$$
$$x > 74.4864878983511 \wedge x < 76.4864878983511$$
$$x > 78.4864878983511 \wedge x < 80.4864878983511$$
$$x > 82.4864878983511 \wedge x < 84.4864878983511$$
$$x > 86.4864878983511 \wedge x < 88.4864878983511$$
$$x > 90.4864878983511 \wedge x < 92.4864878983511$$
$$x > 94.4864878983511 \wedge x < 96.4864878983511$$
$$x > 98.4864878983511 \wedge x < 100.486487898351$$
$$x > 102.486487898351 \wedge x < 104.486487898351$$
$$x > 106.486487898351 \wedge x < 108.486487898351$$
$$x > 110.486487898351 \wedge x < 112.486487898351$$
$$x > 114.486487898351 \wedge x < 116.486487898351$$
$$x > 118.486487898351 \wedge x < 120.486487898351$$
$$x > 122.486487898351 \wedge x < 124.486487898351$$
$$x > 126.486487898351 \wedge x < 128.486487898351$$
$$x > 130.486487898351$$