((x-1)*(x-4))/(x+9)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x + 9} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x + 9} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x + 9} = 0$$
denominador
$$x + 9$$
entonces

x no es igual a -9

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
$$x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
2.
$$x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 1$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 1
pero

x no es igual a -9

$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 1\right)}{x + 9} < 0$$
$$\frac{\left(-4 + \frac{9}{10}\right) \left(-1 + \frac{9}{10}\right)}{\frac{9}{10} + 9} < 0$$

 31    
--- < 0
990    

pero

 31    
--- > 0
990    

Entonces
$$x < 1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1