tg5x≥-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\tan{\left(5 x \right)} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\tan{\left(5 x \right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(5 x \right)} = -1$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$5 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
O
$$5 x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$5$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{20}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{20}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{20}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{20}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{20} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\tan{\left(5 x \right)} \geq -1$$
$$\tan{\left(5 \left(\frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{20} - \frac{1}{10}\right) \right)} \geq -1$$

    /1   pi       \      
-tan|- + -- - pi*n| >= -1
    \2   4        /      

pero

    /1   pi       \     
-tan|- + -- - pi*n| < -1
    \2   4        /     

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{20}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{20}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1