-2sin2x< √3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} < \sqrt{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} = \sqrt{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} = \sqrt{3}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -2

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(2 x \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$2 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$2 x = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n - \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} < \sqrt{3}$$
$$- 2 \sin{\left(2 \left(\pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}\right) \right)} < \sqrt{3}$$

     /1   pi         \     ___
2*sin|- + -- - 2*pi*n| < \/ 3 
     \5   3          /   

pero

     /1   pi         \     ___
2*sin|- + -- - 2*pi*n| > \/ 3 
     \5   3          /   

Entonces
$$x < \pi n - \frac{\pi}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \pi n - \frac{\pi}{6} \wedge x < \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2