(x-5)(x-2)(x-7)^2<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 5\right) \left(x - 2\right) \left(x - 7\right)^{2} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 5\right) \left(x - 2\right) \left(x - 7\right)^{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 5\right) \left(x - 2\right) \left(x - 7\right)^{2} = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 5 = 0$$
$$x - 2 = 0$$
$$x - 7 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 5$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 5
2.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 2
3.
$$x - 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 7$$
Obtenemos la respuesta: x3 = 7
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 7$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 7$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{3} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 5\right) \left(x - 2\right) \left(x - 7\right)^{2} \leq 0$$
$$\left(-5 + \frac{19}{10}\right) \left(-2 + \frac{19}{10}\right) \left(-7 + \frac{19}{10}\right)^{2} \leq 0$$

80631     
----- <= 0
10000     

pero

80631     
----- >= 0
10000     

Entonces
$$x \leq 2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 2 \wedge x \leq 5$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq 2 \wedge x \leq 5$$
$$x \geq 7$$