log3(x-3)+(log2(x-2)-3)(log3(x-3)-2)>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 3\right) \left(\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} - 2\right) + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 3\right) \left(\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} - 2\right) + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 12$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 12$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 12$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 6$$
=
$$\frac{59}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 3\right) \left(\frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} - 2\right) + \frac{\log{\left(x - 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \geq 2$$
$$\frac{\log{\left(-3 + \frac{59}{10} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \left(-3 + \frac{\log{\left(-2 + \frac{59}{10} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(-2 + \frac{\log{\left(-3 + \frac{59}{10} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right) \geq 2$$

   /29\   /        /39\\ /        /29\\     
log|--|   |     log|--|| |     log|--||     
   \10/   |        \10/| |        \10/| >= 2
------- + |-3 + -------|*|-2 + -------|     
 log(3)   \      log(2)/ \      log(3)/     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 6$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 6$$
$$x \geq 12$$