(x+5)(x-7)(x+1)≥0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 7\right) \left(x + 5\right) \left(x + 1\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 7\right) \left(x + 5\right) \left(x + 1\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 7\right) \left(x + 5\right) \left(x + 1\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 7 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 7$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 7
2.
$$x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -1
3.
$$x + 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -5$$
Obtenemos la respuesta: x3 = -5
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -5$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -5$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -5$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 7\right) \left(x + 5\right) \left(x + 1\right) \geq 0$$
$$\left(-7 + - \frac{51}{10}\right) \left(- \frac{51}{10} + 5\right) \left(- \frac{51}{10} + 1\right) \geq 0$$

-4961      
------ >= 0
 1000      

pero

-4961     
------ < 0
 1000     

Entonces
$$x \leq -5$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -5 \wedge x \leq -1$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -5 \wedge x \leq -1$$
$$x \geq 7$$