12sin^2(x)-19sin(x)+5<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(12 \sin^{2}{\left(x \right)} - 19 \sin{\left(x \right)}\right) + 5 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(12 \sin^{2}{\left(x \right)} - 19 \sin{\left(x \right)}\right) + 5 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(12 \sin^{2}{\left(x \right)} - 19 \sin{\left(x \right)}\right) + 5 = 0$$
cambiamos
$$12 \sin^{2}{\left(x \right)} - 19 \sin{\left(x \right)} + 5 = 0$$
$$\left(12 \sin^{2}{\left(x \right)} - 19 \sin{\left(x \right)}\right) + 5 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 12$$
$$b = -19$$
$$c = 5$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-19)^2 - 4 * (12) * (5) = 121

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = \frac{5}{4}$$
$$w_{2} = \frac{1}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{5}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{5}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{5}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{5}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{5}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{5}{4} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(12 \sin^{2}{\left(x \right)} - 19 \sin{\left(x \right)}\right) + 5 < 0$$
$$\left(12 \sin^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \right)} - 19 \sin{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \right)}\right) + 5 < 0$$

          2                                                 
5 + 12*sin (1/10 - asin(1/3)) + 19*sin(1/10 - asin(1/3)) < 0
    

pero

          2                                                 
5 + 12*sin (1/10 - asin(1/3)) + 19*sin(1/10 - asin(1/3)) > 0
    

Entonces
$$x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \wedge x < \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1