x*x-7*x-4<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 7 x + x x\right) - 4 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 7 x + x x\right) - 4 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = -4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (1) * (-4) = 65

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 7 x + x x\right) - 4 \leq 0$$
$$-4 + \left(\left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right) \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right) - 7 \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right)\right) \leq 0$$

                     2                
        /       ____\        ____     
  139   |17   \/ 65 |    7*\/ 65  <= 0
- --- + |-- - ------|  + --------     
   5    \5      2   /       2         

pero

                     2                
        /       ____\        ____     
  139   |17   \/ 65 |    7*\/ 65  >= 0
- --- + |-- - ------|  + --------     
   5    \5      2   /       2         

Entonces
$$x \leq \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2} \wedge x \leq \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1