(x+2)^2(x-3)(x+6)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)^{2} \left(x + 6\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)^{2} \left(x + 6\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)^{2} \left(x + 6\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 3 = 0$$
$$x + 6 = 0$$
$$x + 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 3
2.
$$x + 6 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -6$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -6
3.
$$x + 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -2$$
Obtenemos la respuesta: x3 = -2
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-6 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)^{2} \left(x + 6\right) < 0$$
$$\left(- \frac{61}{10} - 3\right) \left(- \frac{61}{10} + 2\right)^{2} \left(- \frac{61}{10} + 6\right) < 0$$

152971    
------ < 0
10000     

pero

152971    
------ > 0
10000     

Entonces
$$x < -6$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -6 \wedge x < -2$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x3      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > -6 \wedge x < -2$$
$$x > 3$$