(x+1)*(x-2)/x-4>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-4 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-4 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-4 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} - 5 x - 2}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 5 x - 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} - 5 x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -5$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (1) * (-2) = 33

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-4 + \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{x} > 0$$
$$-4 + \frac{\left(-2 + \left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{33}}{2}\right)\right) \left(\left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{33}}{2}\right) + 1\right)}{\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{33}}{2}} > 0$$

     /      ____\ /       ____\    
     |2   \/ 33 | |17   \/ 33 |    
     |- - ------|*|-- - ------|    
     \5     2   / \5      2   /    
-4 + -------------------------- > 0
                   ____            
            12   \/ 33             
            -- - ------            
            5      2               

Entonces
$$x < \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2} \wedge x < \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1