(x-2)*(3x^2-5x-2)*(x+4)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(3 x^{2} - 5 x\right) - 2\right) \left(x + 4\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(3 x^{2} - 5 x\right) - 2\right) \left(x + 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(3 x^{2} - 5 x\right) - 2\right) \left(x + 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
$$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
2.
$$x + 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -4$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -4
3.
$$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = -5$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (3) * (-2) = 49

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 2\right) \left(\left(3 x^{2} - 5 x\right) - 2\right) \left(x + 4\right) > 0$$
$$\left(- \frac{41}{10} - 2\right) \left(-2 + \left(- \frac{\left(-41\right) 5}{10} + 3 \left(- \frac{41}{10}\right)^{2}\right)\right) \left(- \frac{41}{10} + 4\right) > 0$$

420473    
------ > 0
10000     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -4$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x4      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -4$$
$$x > - \frac{1}{3} \wedge x < 2$$