abs(2*x*x)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x 2 x}\right| < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x 2 x}\right| = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} \geq 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$2 x^{2} - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x^{2} - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2.
$$x^{2} < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso


$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x 2 x}\right| < 1$$
$$\left|{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10}\right) 2 \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10}\right)}\right| < 1$$

            /       ___\    
/1     ___\ |1    \/ 2 |    
|- + \/ 2 |*|-- + -----| < 1
\5        / \10     2  /    
    

pero

            /       ___\    
/1     ___\ |1    \/ 2 |    
|- + \/ 2 |*|-- + -----| > 1
\5        / \10     2  /    
    

Entonces
$$x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\sqrt{2}}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2