(2x+1)(x-3)/x-4>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-4 + \frac{\left(x - 3\right) \left(2 x + 1\right)}{x} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-4 + \frac{\left(x - 3\right) \left(2 x + 1\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-4 + \frac{\left(x - 3\right) \left(2 x + 1\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{2 x^{2} - 9 x - 3}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 x^{2} - 9 x - 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$2 x^{2} - 9 x - 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -9$$
$$c = -3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-9)^2 - 4 * (2) * (-3) = 105

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{9}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{43}{20} - \frac{\sqrt{105}}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-4 + \frac{\left(x - 3\right) \left(2 x + 1\right)}{x} \geq 0$$
$$-4 + \frac{\left(-3 + \left(\frac{43}{20} - \frac{\sqrt{105}}{4}\right)\right) \left(2 \left(\frac{43}{20} - \frac{\sqrt{105}}{4}\right) + 1\right)}{\frac{43}{20} - \frac{\sqrt{105}}{4}} \geq 0$$

     /         _____\ /       _____\     
     |  17   \/ 105 | |53   \/ 105 |     
     |- -- - -------|*|-- - -------|     
     \  20      4   / \10      2   /     
-4 + ------------------------------- >= 0
                      _____              
               43   \/ 105               
               -- - -------              
               20      4                 

pero

     /         _____\ /       _____\    
     |  17   \/ 105 | |53   \/ 105 |    
     |- -- - -------|*|-- - -------|    
     \  20      4   / \10      2   /    
-4 + ------------------------------- < 0
                      _____             
               43   \/ 105              
               -- - -------             
               20      4                

Entonces
$$x \leq \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4} \wedge x \leq \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1