4^(lgx)+x^(2lg2)>=4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$4^{\log{\left(x \right)}} + x^{2 \log{\left(2 \right)}} \geq 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$4^{\log{\left(x \right)}} + x^{2 \log{\left(2 \right)}} = 4$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{1}{2}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{1}{2}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$4^{\log{\left(x \right)}} + x^{2 \log{\left(2 \right)}} \geq 4$$
$$4^{\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{1}{2}} \right)}} + \left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{1}{2}}\right)^{2 \log{\left(2 \right)}} \geq 4$$

    /  1     1/2\                             
 log|- -- + e   |                2*log(2)     
    \  10       /   /  1     1/2\         >= 4
4                 + |- -- + e   |             
                    \  10       /             

pero

    /  1     1/2\                            
 log|- -- + e   |                2*log(2)    
    \  10       /   /  1     1/2\         < 4
4                 + |- -- + e   |            
                    \  10       /            

Entonces
$$x \leq e^{\frac{1}{2}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq e^{\frac{1}{2}}$$

         _____  
        /
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       x1