(x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)<=3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \leq 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) = 3$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\left(x^{2} + 5 x + 3\right) \left(x^{2} + 5 x + 7\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} + 5 x + 3 = 0$$
$$x^{2} + 5 x + 7 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x^{2} + 5 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = 3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (1) * (3) = 13

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
2.
$$x^{2} + 5 x + 7 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = 7$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (1) * (7) = -3

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) \leq 3$$
$$\left(\left(- \frac{13}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) + 1\right) \left(\left(- \frac{13}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) + 2\right) \left(\left(- \frac{13}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) + 3\right) \left(\left(- \frac{13}{5} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) + 4\right) \leq 3$$

/        ____\ /        ____\ /      ____\ /      ____\     
|  8   \/ 13 | |  3   \/ 13 | |2   \/ 13 | |7   \/ 13 |     
|- - - ------|*|- - - ------|*|- - ------|*|- - ------| <= 3
\  5     2   / \  5     2   / \5     2   / \5     2   /     
     

pero

/        ____\ /        ____\ /      ____\ /      ____\     
|  8   \/ 13 | |  3   \/ 13 | |2   \/ 13 | |7   \/ 13 |     
|- - - ------|*|- - - ------|*|- - ------|*|- - ------| >= 3
\  5     2   / \  5     2   / \5     2   / \5     2   /     
     

Entonces
$$x \leq - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2} \wedge x \leq - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1