|2x+1|-3<=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 x + 1}\right| - 3 \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 x + 1}\right| - 3 = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x + 1 \geq 0$$
o
$$- \frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x + 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$

2.
$$2 x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- 2 x - 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$


$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 x + 1}\right| - 3 \leq 1$$
$$-3 + \left|{\frac{\left(-13\right) 2}{5} + 1}\right| \leq 1$$

6/5 <= 1

pero

6/5 >= 1

Entonces
$$x \leq - \frac{5}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{5}{2} \wedge x \leq \frac{3}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1