4cos(x/3)<-3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} < -3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = -3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = -3$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 4

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \frac{3}{4}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$\frac{x}{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
O
$$\frac{x}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$\frac{x}{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 3 \pi n + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 3 \pi n - 3 \pi + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 3 \pi n + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 3 \pi n - 3 \pi + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3 \pi n + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 3 \pi n - 3 \pi + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(3 \pi n + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$3 \pi n - \frac{1}{10} + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} < -3$$
$$4 \cos{\left(\frac{3 \pi n - \frac{1}{10} + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}}{3} \right)} < -3$$

4*cos(-1/30 + pi*n + acos(-3/4)) < -3

pero

4*cos(-1/30 + pi*n + acos(-3/4)) > -3

Entonces
$$x < 3 \pi n + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 3 \pi n + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)} \wedge x < 3 \pi n - 3 \pi + 3 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{4} \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2