-15/(x+3)^2-16>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-16 - \frac{15}{\left(x + 3\right)^{2}} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-16 - \frac{15}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$-16 - \frac{15}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 - contiene un número par -2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia -2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt{15} i \sqrt{\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{16}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{15} i \sqrt{\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}}}} = \frac{-1}{4}$$
o
$$- \frac{\sqrt{15} i \left(x + 3\right)}{15} = \frac{1}{4}$$
$$- \frac{\sqrt{15} i \left(x + 3\right)}{15} = - \frac{1}{4}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-i*sqrt153/15+x/15 = 1/4

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -i*sqrt(15)*(3 + x)/(15*x)

x = 1/4 / (-i*sqrt(15)*(3 + x)/(15*x))

Obtenemos la respuesta: x = -3 + i*sqrt(15)/4
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-i*sqrt153/15+x/15 = -1/4

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -i*sqrt(15)*(3 + x)/(15*x)

x = -1/4 / (-i*sqrt(15)*(3 + x)/(15*x))

Obtenemos la respuesta: x = -3 - i*sqrt(15)/4
o
$$x_{1} = -3 - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
$$x_{2} = -3 + \frac{\sqrt{15} i}{4}$$

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x + 3$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{2}} = - \frac{16}{15}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 2 i p}}{r^{2}} = - \frac{16}{15}$$
donde
$$r = \frac{\sqrt{15}}{4}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 2 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(2 p \right)} = 1$$
y
$$- \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \pi N$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x + 3$$
$$x = z - 3$$

$$x_{1} = -3 + \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
$$x_{2} = -3 - \frac{\sqrt{15} i}{4}$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$-16 - \frac{15}{3^{2}} \geq 0$$

-53/3 >= 0

pero

-53/3 < 0

signo desigualdades no tiene soluciones