15/(x+3)^2-16>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-16 + \frac{15}{\left(x + 3\right)^{2}} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-16 + \frac{15}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$-16 + \frac{15}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 - contiene un número par -2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia -2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt{15} \sqrt{\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{16}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{15} \sqrt{\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}}}} = \frac{-1}{4}$$
o
$$\frac{\sqrt{15} \left(x + 3\right)}{15} = \frac{1}{4}$$
$$\frac{\sqrt{15} \left(x + 3\right)}{15} = - \frac{1}{4}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

sqrt153/15+x/15 = 1/4

Dividamos ambos miembros de la ecuación en sqrt(15)*(3 + x)/(15*x)

x = 1/4 / (sqrt(15)*(3 + x)/(15*x))

Obtenemos la respuesta: x = -3 + sqrt(15)/4
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

sqrt153/15+x/15 = -1/4

Dividamos ambos miembros de la ecuación en sqrt(15)*(3 + x)/(15*x)

x = -1/4 / (sqrt(15)*(3 + x)/(15*x))

Obtenemos la respuesta: x = -3 - sqrt(15)/4
o
$$x_{1} = -3 - \frac{\sqrt{15}}{4}$$
$$x_{2} = -3 + \frac{\sqrt{15}}{4}$$

$$x_{1} = -3 + \frac{\sqrt{15}}{4}$$
$$x_{2} = -3 - \frac{\sqrt{15}}{4}$$
$$x_{1} = -3 + \frac{\sqrt{15}}{4}$$
$$x_{2} = -3 - \frac{\sqrt{15}}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -3 - \frac{\sqrt{15}}{4}$$
$$x_{1} = -3 + \frac{\sqrt{15}}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(-3 - \frac{\sqrt{15}}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10} - \frac{\sqrt{15}}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-16 + \frac{15}{\left(x + 3\right)^{2}} \geq 0$$
$$-16 + \frac{15}{\left(\left(- \frac{31}{10} - \frac{\sqrt{15}}{4}\right) + 3\right)^{2}} \geq 0$$

             15            
-16 + ----------------     
                     2     
      /         ____\  >= 0
      |  1    \/ 15 |      
      |- -- - ------|      
      \  10     4   /      

pero

             15           
-16 + ----------------    
                     2    
      /         ____\  < 0
      |  1    \/ 15 |     
      |- -- - ------|     
      \  10     4   /     

Entonces
$$x \leq -3 - \frac{\sqrt{15}}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -3 - \frac{\sqrt{15}}{4} \wedge x \leq -3 + \frac{\sqrt{15}}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1