Sr Examen
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- Solución de desigualdades trigonométricas en línea
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- Resolución de desigualdades con un módulo en línea
-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2-8x+7>=0
-
(x^2-3,6x+3,24)*(x-1,5)<=0
-
x^2+23x<=0
-
x^2>2,3x
-
Expresiones idénticas
- dos *sin(x)^(dos)+sin(x)- uno > uno
- 2 multiplicar por seno de (x) en el grado (2) más seno de (x) menos 1 más 1
- dos multiplicar por seno de (x) en el grado (dos) más seno de (x) menos uno más uno
- 2*sin(x)(2)+sin(x)-1>1
- 2*sinx2+sinx-1>1
- 2sin(x)^(2)+sin(x)-1>1
- 2sin(x)(2)+sin(x)-1>1
- 2sinx2+sinx-1>1
- 2sinx^2+sinx-1>1
-
Expresiones semejantes
- 2*sin(x)^(2)+sin(x)+1>1
- 2*sin(x)^(2)-sin(x)-1>1
- 2*sinx^(2)+sinx-1>1
2*sin(x)^(2)+sin(x)-1>1 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
2 2*sin (x) + sin(x) - 1 > 1
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 1$$
2*sin(x)^2 + sin(x) - 1 > 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 1$$
cambiamos
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -2$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$w_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 1$$
$$-1 + \left(2 \sin^{2}{\left(- \frac{1}{10} - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} \right)} + \sin{\left(- \frac{1}{10} - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} \right)}\right) > 1$$
Entonces
$$x < - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} \wedge x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 1$$
cambiamos
$$\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -2$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(1)^2 - 4 * (2) * (-2) = 17
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$w_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{17}}{4} - \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 1 > 1$$
$$-1 + \left(2 \sin^{2}{\left(- \frac{1}{10} - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} \right)} + \sin{\left(- \frac{1}{10} - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} \right)}\right) > 1$$
/ / ____\\ / / ____\\
|1 |1 \/ 17 || 2|1 |1 \/ 17 ||
-1 - sin|-- + asin|- - ------|| + 2*sin |-- + asin|- - ------|| > 1
\10 \4 4 // \10 \4 4 //
Entonces
$$x < - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} \wedge x < \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4} \right)} + \pi$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / _____________\ / _____________\ \ | | ___ / ____ | | ___ / ____ | | | |\/ 2 *\/ -1 + \/ 17 | |\/ 2 *\/ -1 + \/ 17 | | And|x < pi - atan|----------------------|, atan|----------------------| < x| \ \ 2 / \ 2 / /
$$x < \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{17}}}{2} \right)} \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{17}}}{2} \right)} < x$$
(atan(sqrt(2)*sqrt(-1 + sqrt(17))/2) < x)∧(x < pi - atan(sqrt(2)*sqrt(-1 + sqrt(17))/2))
Respuesta rápida 2
[src]
/ _____________\ / _____________\
| ___ / ____ | | ___ / ____ |
|\/ 2 *\/ -1 + \/ 17 | |\/ 2 *\/ -1 + \/ 17 |
(atan|----------------------|, pi - atan|----------------------|)
\ 2 / \ 2 /
$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{17}}}{2} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{-1 + \sqrt{17}}}{2} \right)}\right)$$
x in Interval.open(atan(sqrt(2)*sqrt(-1 + sqrt(17))/2), pi - atan(sqrt(2)*sqrt(-1 + sqrt(17))/2))