3x^-5x-2<_0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{3}{x^{5}} x - 2 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{3}{x^{5}} x - 2 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{3}{x^{5}} x - 2 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -4 - contiene un número par -4 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia -4 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\frac{1}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{\frac{1}{x^{4}}}} = \frac{-1}{\sqrt[4]{2}}$$
o
$$\frac{3^{\frac{3}{4}} x}{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
$$\frac{3^{\frac{3}{4}} x}{3} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

x*3^3/4/3 = 2^(3/4)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

x*3^3/4/3 = 2^3/4/2

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3^(3/4)/3

x = 2^(3/4)/2 / (3^(3/4)/3)

Obtenemos la respuesta: x = 2^(3/4)*3^(1/4)/2
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

x*3^3/4/3 = -2^(3/4)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

x*3^3/4/3 = -2^3/4/2

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3^(3/4)/3

x = -2^(3/4)/2 / (3^(3/4)/3)

Obtenemos la respuesta: x = -2^(3/4)*3^(1/4)/2
o
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{4}} = \frac{2}{3}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 4 i p}}{r^{4}} = \frac{2}{3}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 4 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
y
$$- \sin{\left(4 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \frac{\pi N}{2}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{3}{x^{5}} x - 2 \leq 0$$
$$-2 + \frac{3}{\left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{1}{10}\right)^{5}} \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{1}{10}\right) \leq 0$$

              3               
-2 + --------------------     
                        4     
     /        3/4 4 ___\  <= 0
     |  1    2   *\/ 3 |      
     |- -- - ----------|      
     \  10       2     /      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$x \geq \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{3}}{2}$$