x-2sqrt(x-3)>=11 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x - 2 \sqrt{x - 3} \geq 11$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x - 2 \sqrt{x - 3} = 11$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$x - 2 \sqrt{x - 3} = 11$$
$$- 2 \sqrt{x - 3} = 11 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x - 12 = \left(11 - x\right)^{2}$$
$$4 x - 12 = x^{2} - 22 x + 121$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 26 x - 133 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 26$$
$$c = -133$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(26)^2 - 4 * (-1) * (-133) = 144

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 19$$

Como
$$\sqrt{x - 3} = \frac{x}{2} - \frac{11}{2}$$
y
$$\sqrt{x - 3} \geq 0$$
entonces
$$\frac{x}{2} - \frac{11}{2} \geq 0$$
o
$$11 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = 19$$
$$x_{1} = 19$$
$$x_{1} = 19$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 19$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 19$$
=
$$\frac{189}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x - 2 \sqrt{x - 3} \geq 11$$
$$\frac{189}{10} - 2 \sqrt{-3 + \frac{189}{10}} \geq 11$$

        ______      
189   \/ 1590       
--- - -------- >= 11
 10      5          
      

pero

        ______     
189   \/ 1590      
--- - -------- < 11
 10      5         
     

Entonces
$$x \leq 19$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 19$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1