|x-0,3|<4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - \frac{3}{10}}\right| < 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - \frac{3}{10}}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - \frac{3}{10} \geq 0$$
o
$$\frac{3}{10} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - \frac{3}{10}\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - \frac{43}{10} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{43}{10}$$

2.
$$x - \frac{3}{10} < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{3}{10}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(\frac{3}{10} - x\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - \frac{37}{10} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{37}{10}$$


$$x_{1} = \frac{43}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{37}{10}$$
$$x_{1} = \frac{43}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{37}{10}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{37}{10}$$
$$x_{1} = \frac{43}{10}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{37}{10} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{19}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - \frac{3}{10}}\right| < 4$$
$$\left|{- \frac{19}{5} - \frac{3}{10}}\right| < 4$$

41    
-- < 4
10    

pero

41    
-- > 4
10    

Entonces
$$x < - \frac{37}{10}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{37}{10} \wedge x < \frac{43}{10}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1