(x^2-4x-4)*(x-2)^2≥0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 4\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$x^{2} - 4 x - 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
2.
$$x^{2} - 4 x - 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (-4) = 32

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 2 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 2 - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 2 - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 2 - 2 \sqrt{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = 2 - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2 + 2 \sqrt{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 - 2 \sqrt{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10} - 2 \sqrt{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 2\right)^{2} \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 4\right) \geq 0$$
$$\left(-4 + \left(\left(\frac{19}{10} - 2 \sqrt{2}\right)^{2} - 4 \left(\frac{19}{10} - 2 \sqrt{2}\right)\right)\right) \left(-2 + \left(\frac{19}{10} - 2 \sqrt{2}\right)\right)^{2} \geq 0$$

                2 /                     2          \     
/  1        ___\  |  58   /19       ___\        ___|     
|- -- - 2*\/ 2 | *|- -- + |-- - 2*\/ 2 |  + 8*\/ 2 | >= 0
\  10          /  \  5    \10          /           /     
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 2 - 2 \sqrt{2}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 2 - 2 \sqrt{2}$$
$$x \geq 2 \wedge x \leq 2 + 2 \sqrt{2}$$