16*(x^2+2*x+1)-4*(x-1)*(x-4)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \left(x - 4\right) 4 \left(x - 1\right) + 16 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \left(x - 4\right) 4 \left(x - 1\right) + 16 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- \left(x - 4\right) 4 \left(x - 1\right) + 16 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$12 x^{2} + 52 x = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 12$$
$$b = 52$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(52)^2 - 4 * (12) * (0) = 2704

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{13}{3}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{13}{3}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{13}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{13}{3}$$
$$x_{1} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{133}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \left(x - 4\right) 4 \left(x - 1\right) + 16 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) > 0$$
$$- \left(- \frac{133}{30} - 4\right) 4 \left(- \frac{133}{30} - 1\right) + 16 \left(1 + \left(\frac{\left(-133\right) 2}{30} + \left(- \frac{133}{30}\right)^{2}\right)\right) > 0$$

133    
--- > 0
 25    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{13}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{13}{3}$$
$$x > 0$$