9√3ctgx<9 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$9 \sqrt{3 \cot{\left(x \right)}} < 9$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$9 \sqrt{3 \cot{\left(x \right)}} = 9$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$9 \sqrt{3 \cot{\left(x \right)}} = 9$$
cambiamos
$$9 \sqrt{3} \sqrt{\cot{\left(x \right)}} - 9 = 0$$
$$9 \sqrt{3 \cot{\left(x \right)}} - 9 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$9 \sqrt{3} \sqrt{w} - 9 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 1/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2:
Obtenemos:
$$\left(9 \sqrt{3}\right)^{2} \left(\sqrt{w}\right)^{2} = 9^{2}$$
o
$$243 w = 81$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 243

w = 81 / (243)

Obtenemos la respuesta: w = 1/3

Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{1}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$9 \sqrt{3 \cot{\left(x \right)}} < 9$$
$$9 \sqrt{3 \cot{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{3} \right)} \right)}} < 9$$

    ___   ________________________    
9*\/ 3 *\/ -cot(1/10 - acot(1/3))  < 9
    

pero

    ___   ________________________    
9*\/ 3 *\/ -cot(1/10 - acot(1/3))  > 9
    

Entonces
$$x < \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1