6sin^2x-sinx-1<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 6$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (6) * (-1) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{4}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 \leq 0$$
$$-1 + \left(6 \sin^{2}{\left(- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)} - \sin{\left(- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)}\right) \leq 0$$

          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) <= 0
     

pero

          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) >= 0
     

Entonces
$$x \leq - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x4      x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$