(x+2)*(x-10)<10 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 10\right) \left(x + 2\right) < 10$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 10\right) \left(x + 2\right) = 10$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$\left(x - 10\right) \left(x + 2\right) = 10$$
en
$$\left(x - 10\right) \left(x + 2\right) - 10 = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(x - 10\right) \left(x + 2\right) - 10 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} - 8 x - 30 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -8$$
$$c = -30$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (1) * (-30) = 184

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 4 + \sqrt{46}$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{46}$$
$$x_{1} = 4 + \sqrt{46}$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{46}$$
$$x_{1} = 4 + \sqrt{46}$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{46}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 4 - \sqrt{46}$$
$$x_{1} = 4 + \sqrt{46}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 - \sqrt{46}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{39}{10} - \sqrt{46}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 10\right) \left(x + 2\right) < 10$$
$$\left(-10 + \left(\frac{39}{10} - \sqrt{46}\right)\right) \left(\left(\frac{39}{10} - \sqrt{46}\right) + 2\right) < 10$$

/  61     ____\ /59     ____\     
|- -- - \/ 46 |*|-- - \/ 46 | < 10
\  10         / \10         /     

pero

/  61     ____\ /59     ____\     
|- -- - \/ 46 |*|-- - \/ 46 | > 10
\  10         / \10         /     

Entonces
$$x < 4 - \sqrt{46}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 4 - \sqrt{46} \wedge x < 4 + \sqrt{46}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1