(25*x^(2)-(5/2)*x-(3/2))/(25*x^(2)+15*x+2)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(25 x^{2} - \frac{5 x}{2}\right) - \frac{3}{2}}{\left(25 x^{2} + 15 x\right) + 2} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(25 x^{2} - \frac{5 x}{2}\right) - \frac{3}{2}}{\left(25 x^{2} + 15 x\right) + 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(25 x^{2} - \frac{5 x}{2}\right) - \frac{3}{2}}{\left(25 x^{2} + 15 x\right) + 2} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
2 + 15*x + 25*x^2
obtendremos:
$$\frac{\left(\left(25 x^{2} - \frac{5 x}{2}\right) - \frac{3}{2}\right) \left(25 x^{2} + 15 x + 2\right)}{\left(25 x^{2} + 15 x\right) + 2} = 0$$
$$25 x^{2} - \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 25$$
$$b = - \frac{5}{2}$$
$$c = - \frac{3}{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5/2)^2 - 4 * (25) * (-3/2) = 625/4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{3}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{5}$$
$$x_{1} = \frac{3}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{5}$$
$$x_{1} = \frac{3}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{5}$$
$$x_{1} = \frac{3}{10}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{5} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(25 x^{2} - \frac{5 x}{2}\right) - \frac{3}{2}}{\left(25 x^{2} + 15 x\right) + 2} < 0$$
$$\frac{- \frac{3}{2} + \left(- \frac{\left(-3\right) 5}{2 \cdot 10} + 25 \left(- \frac{3}{10}\right)^{2}\right)}{\left(\frac{\left(-3\right) 15}{10} + 25 \left(- \frac{3}{10}\right)^{2}\right) + 2} < 0$$

-6 < 0

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{1}{5}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{1}{5}$$
$$x > \frac{3}{10}$$