(x-3)/(x^2+2x-5)>1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x - 3}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 5} > \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x - 3}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 5} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x - 3}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 5} = \frac{1}{2}$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-5 + x^2 + 2*x
obtendremos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 2 x - 5\right)}{\left(x^{2} + 2 x\right) - 5} = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{5}{2}$$
$$x - 3 = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{5}{2}$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$x - 3 = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{5}{2}$$
en
$$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = - \frac{1}{2}$$
$$b = 0$$
$$c = - \frac{1}{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-1/2) * (-1/2) = -1

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - i$$
$$x_{2} = i$$
$$x_{1} = - i$$
$$x_{2} = i$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$- \frac{3}{-5 + \left(0^{2} + 0 \cdot 2\right)} > \frac{1}{2}$$

3/5 > 1/2

signo desigualdades se cumple cuando