x(x-5)²(x+7)³(x-10)⁴<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \left(x - 5\right)^{2} \left(x + 7\right)^{3} \left(x - 10\right)^{4} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \left(x - 5\right)^{2} \left(x + 7\right)^{3} \left(x - 10\right)^{4} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{4} = 10$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{4} = 10$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{4} = 10$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \left(x - 5\right)^{2} \left(x + 7\right)^{3} \left(x - 10\right)^{4} < 0$$
$$\frac{\left(-71\right) \left(- \frac{71}{10} - 5\right)^{2}}{10} \left(- \frac{71}{10} + 7\right)^{3} \left(-10 + - \frac{71}{10}\right)^{4} < 0$$

888819411596391    
--------------- < 0
  10000000000      

pero

888819411596391    
--------------- > 0
  10000000000      

Entonces
$$x < -7$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -7 \wedge x < 0$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > -7 \wedge x < 0$$
$$x > 5 \wedge x < 10$$