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Resolución de integrales/ (1/3)/ (x-7)/ (x+1)/ (x-7)(x+1)^(1/3)

Integral de (x-7)(x+1)^(1/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
  /                     
 |                      
 |          3 _______   
 |  (x - 7)*\/ x + 1  dx
 |                      
/                       
0
∫01(x−7)x+13 dx\int\limits_{0}^{1} \left(x - 7\right) \sqrt[3]{x + 1}\, dx 
Integral((x - 7)*(x + 1)^(1/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x+13u = \sqrt[3]{x + 1}.

      Luego que du=dx3(x+1)23du = \frac{dx}{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

      ∫(−18u3+3(u3−1)2−3) du\int \left(- 18 u^{3} + 3 \left(u^{3} - 1\right)^{2} - 3\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−18u3) du=−18∫u3 du\int \left(- 18 u^{3}\right)\, du = - 18 \int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −9u42- \frac{9 u^{4}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3(u3−1)2 du=3∫(u3−1)2 du\int 3 \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (u3−1)2=u6−2u3+1\left(u^{3} - 1\right)^{2} = u^{6} - 2 u^{3} + 1

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2u3) du=−2∫u3 du\int \left(- 2 u^{3}\right)\, du = - 2 \int u^{3}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: −u42- \frac{u^{4}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            El resultado es: u77−u42+u\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{4}}{2} + u

          Por lo tanto, el resultado es: 3u77−3u42+3u\frac{3 u^{7}}{7} - \frac{3 u^{4}}{2} + 3 u

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−3) du=−3u\int \left(-3\right)\, du = - 3 u

        El resultado es: 3u77−6u4\frac{3 u^{7}}{7} - 6 u^{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3(x+1)737−6(x+1)43\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - 6 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−7)x+13=xx+13−7x+13\left(x - 7\right) \sqrt[3]{x + 1} = x \sqrt[3]{x + 1} - 7 \sqrt[3]{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x+13u = \sqrt[3]{x + 1}.

        Luego que du=dx3(x+1)23du = \frac{dx}{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

        ∫(3u3+3(u3−1)2−3) du\int \left(3 u^{3} + 3 \left(u^{3} - 1\right)^{2} - 3\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3u3 du=3∫u3 du\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: 3u44\frac{3 u^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3(u3−1)2 du=3∫(u3−1)2 du\int 3 \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (u3−1)2=u6−2u3+1\left(u^{3} - 1\right)^{2} = u^{6} - 2 u^{3} + 1

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−2u3) du=−2∫u3 du\int \left(- 2 u^{3}\right)\, du = - 2 \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u42- \frac{u^{4}}{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              El resultado es: u77−u42+u\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{4}}{2} + u

            Por lo tanto, el resultado es: 3u77−3u42+3u\frac{3 u^{7}}{7} - \frac{3 u^{4}}{2} + 3 u

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−3) du=−3u\int \left(-3\right)\, du = - 3 u

          El resultado es: 3u77−3u44\frac{3 u^{7}}{7} - \frac{3 u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3(x+1)737−3(x+1)434\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7x+13) dx=−7∫x+13 dx\int \left(- 7 \sqrt[3]{x + 1}\right)\, dx = - 7 \int \sqrt[3]{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int \sqrt[3]{u}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=3u434\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3(x+1)434\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −21(x+1)434- \frac{21 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

      El resultado es: 3(x+1)737−6(x+1)43\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - 6 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x−7)x+13=xx+13−7x+13\left(x - 7\right) \sqrt[3]{x + 1} = x \sqrt[3]{x + 1} - 7 \sqrt[3]{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x+13u = \sqrt[3]{x + 1}.

        Luego que du=dx3(x+1)23du = \frac{dx}{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

        ∫(3u3+3(u3−1)2−3) du\int \left(3 u^{3} + 3 \left(u^{3} - 1\right)^{2} - 3\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3u3 du=3∫u3 du\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: 3u44\frac{3 u^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3(u3−1)2 du=3∫(u3−1)2 du\int 3 \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              (u3−1)2=u6−2u3+1\left(u^{3} - 1\right)^{2} = u^{6} - 2 u^{3} + 1

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−2u3) du=−2∫u3 du\int \left(- 2 u^{3}\right)\, du = - 2 \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u42- \frac{u^{4}}{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              El resultado es: u77−u42+u\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{4}}{2} + u

            Por lo tanto, el resultado es: 3u77−3u42+3u\frac{3 u^{7}}{7} - \frac{3 u^{4}}{2} + 3 u

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−3) du=−3u\int \left(-3\right)\, du = - 3 u

          El resultado es: 3u77−3u44\frac{3 u^{7}}{7} - \frac{3 u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3(x+1)737−3(x+1)434\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−7x+13) dx=−7∫x+13 dx\int \left(- 7 \sqrt[3]{x + 1}\right)\, dx = - 7 \int \sqrt[3]{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int \sqrt[3]{u}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=3u434\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3(x+1)434\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −21(x+1)434- \frac{21 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{4}

      El resultado es: 3(x+1)737−6(x+1)43\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - 6 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}

  2. Ahora simplificar:

    3(x−13)(x+1)437\frac{3 \left(x - 13\right) \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{7}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3(x−13)(x+1)437+constant\frac{3 \left(x - 13\right) \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{7}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3(x−13)(x+1)437+constant\frac{3 \left(x - 13\right) \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{7}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                                    7/3
 |         3 _______                   4/3   3*(x + 1)   
 | (x - 7)*\/ x + 1  dx = C - 6*(x + 1)    + ------------
 |                                                7      
/
∫(x−7)x+13 dx=C+3(x+1)737−6(x+1)43\int \left(x - 7\right) \sqrt[3]{x + 1}\, dx = C + \frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - 6 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900-20
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        3 ___
39   72*\/ 2 
-- - --------
7       7
397−72237\frac{39}{7} - \frac{72 \sqrt[3]{2}}{7} 
=
= 
        3 ___
39   72*\/ 2 
-- - --------
7       7
397−72237\frac{39}{7} - \frac{72 \sqrt[3]{2}}{7} 
39/7 - 72*2^(1/3)/7
Respuesta numérica [src] 
-7.38775937034727
-7.38775937034727

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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