Integral de log2(7*x-3) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\log{\left(7 x - 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\, dx = \frac{\int \log{\left(7 x - 3 \right)}\, dx}{\log{\left(2 \right)}}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 7 x - 3$.

         Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{7}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{7}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{7} - \frac{u}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x + \frac{\left(7 x - 3\right) \log{\left(7 x - 3 \right)}}{7} + \frac{3}{7}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(7 x - 3 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{7}{7 x - 3}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{7 x}{7 x - 3}\, dx = 7 \int \frac{x}{7 x - 3}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{7 x - 3} = \frac{1}{7} + \frac{3}{7 \left(7 x - 3\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{7}\, dx = \frac{x}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{7 \left(7 x - 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{7 x - 3}\, dx}{7}$

               1. que $u = 7 x - 3$.

                  Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

                  $\int \frac{1}{7 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{7}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(7 x - 3 \right)}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(7 x - 3 \right)}}{49}$

            El resultado es: $\frac{x}{7} + \frac{3 \log{\left(7 x - 3 \right)}}{49}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x + \frac{3 \log{\left(7 x - 3 \right)}}{7}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{- x + \frac{\left(7 x - 3\right) \log{\left(7 x - 3 \right)}}{7} + \frac{3}{7}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{- 7 x + \left(7 x - 3\right) \log{\left(7 x - 3 \right)} + 3}{7 \log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{- 7 x + \left(7 x - 3\right) \log{\left(7 x - 3 \right)} + 3}{7 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- 7 x + \left(7 x - 3\right) \log{\left(7 x - 3 \right)} + 3}{7 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$