Integral de 5x^3+1/(x+1)(2x+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 x^{3}\, dx = 5 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{4}}{4}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 1}{u + 2}\, du$

         1. que $u = u + 2$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u - 1}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u - \log{\left(u + 2 \right)} + 2$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 x - \log{\left(2 x + 2 \right)} + 2$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 x + 1}{x + 1} = 2 - \frac{1}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, dx = 2 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $2 x - \log{\left(x + 1 \right)}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 x + 1}{x + 1} = \frac{2 x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 x}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{x + 1}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

                  1. que $u = x + 1$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 1 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

               El resultado es: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $2 x + \log{\left(x + 1 \right)} - 2 \log{\left(x + 1 \right)}$

   El resultado es: $\frac{5 x^{4}}{4} + 2 x - \log{\left(2 x + 2 \right)} + 2$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x^{4}}{4} + 2 x - \log{\left(2 x + 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{4}}{4} + 2 x - \log{\left(2 x + 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$