Integral de (x+1)/x^(3/5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{3}{5}}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{5 u^{\frac{5}{3}} + 5}{3 \sqrt[3]{u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 u^{\frac{5}{3}} + 5}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{\int \frac{5 u^{\frac{5}{3}} + 5}{\sqrt[3]{u}}\, du}{3}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{u}}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{3 u^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{15 u^{5} + 15}{u^{8}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{15 u^{5} + 15}{u^{8}}\, du = - \int \frac{15 u^{5} + 15}{u^{8}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{15 u^{5} + 15}{u^{8}} = \frac{15}{u^{3}} + \frac{15}{u^{8}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{15}{u^{3}}\, du = 15 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15}{2 u^{2}}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{15}{u^{8}}\, du = 15 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15}{7 u^{7}}$

                  El resultado es: $- \frac{15}{2 u^{2}} - \frac{15}{7 u^{7}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15}{2 u^{2}} + \frac{15}{7 u^{7}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{15 u^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{15 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{5 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 x^{\frac{7}{5}}}{7} + \frac{5 x^{\frac{2}{5}}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 1}{x^{\frac{3}{5}}} = \frac{x}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$.

         Luego que $du = - \frac{3 dx}{5 x^{\frac{8}{5}}}$ y ponemos $- \frac{5 du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{5}{3 u^{\frac{10}{3}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du = - \frac{3}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 x^{\frac{7}{5}}}{7}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{2}{5}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{5 x^{\frac{7}{5}}}{7} + \frac{5 x^{\frac{2}{5}}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 x^{\frac{2}{5}} \left(2 x + 7\right)}{14}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x^{\frac{2}{5}} \left(2 x + 7\right)}{14}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{\frac{2}{5}} \left(2 x + 7\right)}{14}+ \mathrm{constant}$