Integral de x^3ln(x+3) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 3 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 3}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{4}}{4 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{4}}{x + 3}\, dx}{4}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4}}{x + 3} = x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 27 + \frac{81}{x + 3}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 x\, dx = 9 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-27\right)\, dx = - 27 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{81}{x + 3}\, dx = 81 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

         1. que $u = x + 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 3 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $81 \log{\left(x + 3 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2} - 27 x + 81 \log{\left(x + 3 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{16} - \frac{x^{3}}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} - \frac{27 x}{4} + \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{27 x}{4} - \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{27 x}{4} - \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \log{\left(x + 3 \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{27 x}{4} - \frac{81 \log{\left(x + 3 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$