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Integral de (3x+2)/(x^(2)-3x+3)^(2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                   
  /                   
 |                    
 |      3*x + 2       
 |  --------------- dx
 |                2   
 |  / 2          \    
 |  \x  - 3*x + 3/    
 |                    
/                     
0                     
013x+2((x23x)+3)2dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 2}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}}\, dx
Integral((3*x + 2)/(x^2 - 3*x + 3)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+2((x23x)+3)2=3x+2x46x3+15x218x+9\frac{3 x + 2}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}} = \frac{3 x + 2}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+2x46x3+15x218x+9=3xx46x3+15x218x+9+2x46x3+15x218x+9\frac{3 x + 2}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9} = \frac{3 x}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9} + \frac{2}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3xx46x3+15x218x+9dx=3xx46x3+15x218x+9dx\int \frac{3 x}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2x23x+3+23atan(23x33)3\frac{x - 2}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2)x23x+3+23atan(23x33)\frac{3 \left(x - 2\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2x46x3+15x218x+9dx=21x46x3+15x218x+9dx\int \frac{2}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          2x33x29x+9+43atan(23x33)9\frac{2 x - 3}{3 x^{2} - 9 x + 9} + \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(2x3)3x29x+9+83atan(23x33)9\frac{2 \left(2 x - 3\right)}{3 x^{2} - 9 x + 9} + \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{9}

      El resultado es: 3(x2)x23x+3+2(2x3)3x29x+9+263atan(23x33)9\frac{3 \left(x - 2\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{2 \left(2 x - 3\right)}{3 x^{2} - 9 x + 9} + \frac{26 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{9}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+2((x23x)+3)2=3xx46x3+15x218x+9+2x46x3+15x218x+9\frac{3 x + 2}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}} = \frac{3 x}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9} + \frac{2}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3xx46x3+15x218x+9dx=3xx46x3+15x218x+9dx\int \frac{3 x}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2x23x+3+23atan(23x33)3\frac{x - 2}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2)x23x+3+23atan(23x33)\frac{3 \left(x - 2\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2x46x3+15x218x+9dx=21x46x3+15x218x+9dx\int \frac{2}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{4} - 6 x^{3} + 15 x^{2} - 18 x + 9}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          2x33x29x+9+43atan(23x33)9\frac{2 x - 3}{3 x^{2} - 9 x + 9} + \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(2x3)3x29x+9+83atan(23x33)9\frac{2 \left(2 x - 3\right)}{3 x^{2} - 9 x + 9} + \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{9}

      El resultado es: 3(x2)x23x+3+2(2x3)3x29x+9+263atan(23x33)9\frac{3 \left(x - 2\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{2 \left(2 x - 3\right)}{3 x^{2} - 9 x + 9} + \frac{26 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{9}

  2. Ahora simplificar:

    39x+263(x23x+3)atan(3(2x3)3)729(x23x+3)\frac{39 x + 26 \sqrt{3} \left(x^{2} - 3 x + 3\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x - 3\right)}{3} \right)} - 72}{9 \left(x^{2} - 3 x + 3\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    39x+263(x23x+3)atan(3(2x3)3)729(x23x+3)+constant\frac{39 x + 26 \sqrt{3} \left(x^{2} - 3 x + 3\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x - 3\right)}{3} \right)} - 72}{9 \left(x^{2} - 3 x + 3\right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

39x+263(x23x+3)atan(3(2x3)3)729(x23x+3)+constant\frac{39 x + 26 \sqrt{3} \left(x^{2} - 3 x + 3\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x - 3\right)}{3} \right)} - 72}{9 \left(x^{2} - 3 x + 3\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
                                                                         /                ___\
  /                                                              ___     |    ___   2*x*\/ 3 |
 |                                                          26*\/ 3 *atan|- \/ 3  + ---------|
 |     3*x + 2               2*(-3 + 2*x)     3*(-2 + x)                 \              3    /
 | --------------- dx = C + -------------- + ------------ + ----------------------------------
 |               2                       2        2                         9                 
 | / 2          \           9 - 9*x + 3*x    3 + x  - 3*x                                     
 | \x  - 3*x + 3/                                                                             
 |                                                                                            
/                                                                                             
3x+2((x23x)+3)2dx=C+3(x2)x23x+3+2(2x3)3x29x+9+263atan(23x33)9\int \frac{3 x + 2}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 3\right)^{2}}\, dx = C + \frac{3 \left(x - 2\right)}{x^{2} - 3 x + 3} + \frac{2 \left(2 x - 3\right)}{3 x^{2} - 9 x + 9} + \frac{26 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{9}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Respuesta [src]
             ___
     13*pi*\/ 3 
-1 + -----------
          27    
1+133π27-1 + \frac{13 \sqrt{3} \pi}{27}
=
=
             ___
     13*pi*\/ 3 
-1 + -----------
          27    
1+133π27-1 + \frac{13 \sqrt{3} \pi}{27}
-1 + 13*pi*sqrt(3)/27
Respuesta numérica [src]
1.61993241500498
1.61993241500498

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.