Integral de (2x+3)^9 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 3$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{9}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{9}\, du = \frac{\int u^{9}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{10}}{20}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 3\right)^{10}}{20}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 3\right)^{9} = 512 x^{9} + 6912 x^{8} + 41472 x^{7} + 145152 x^{6} + 326592 x^{5} + 489888 x^{4} + 489888 x^{3} + 314928 x^{2} + 118098 x + 19683$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 512 x^{9}\, dx = 512 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{256 x^{10}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6912 x^{8}\, dx = 6912 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $768 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 41472 x^{7}\, dx = 41472 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5184 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 145152 x^{6}\, dx = 145152 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $20736 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 326592 x^{5}\, dx = 326592 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $54432 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 489888 x^{4}\, dx = 489888 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{489888 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 489888 x^{3}\, dx = 489888 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $122472 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 314928 x^{2}\, dx = 314928 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $104976 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 118098 x\, dx = 118098 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $59049 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 19683\, dx = 19683 x$

      El resultado es: $\frac{256 x^{10}}{5} + 768 x^{9} + 5184 x^{8} + 20736 x^{7} + 54432 x^{6} + \frac{489888 x^{5}}{5} + 122472 x^{4} + 104976 x^{3} + 59049 x^{2} + 19683 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x + 3\right)^{10}}{20}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x + 3\right)^{10}}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x + 3\right)^{10}}{20}+ \mathrm{constant}$