Integral de x^6*e^(-x) dx

1. que $u = - x$.

   Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

   $\int \left(- u^{6} e^{u}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u^{6} e^{u}\, du = - \int u^{6} e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{6}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u^{5}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 6 u^{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 30 u^{4}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 30 u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 120 u^{3}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 120 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 360 u^{2}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      5. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 360 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 720 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 720 u e^{u}\, du = 720 \int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $720 u e^{u} - 720 e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- u^{6} e^{u} + 6 u^{5} e^{u} - 30 u^{4} e^{u} + 120 u^{3} e^{u} - 360 u^{2} e^{u} + 720 u e^{u} - 720 e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- x^{6} e^{- x} - 6 x^{5} e^{- x} - 30 x^{4} e^{- x} - 120 x^{3} e^{- x} - 360 x^{2} e^{- x} - 720 x e^{- x} - 720 e^{- x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(x^{6} + 6 x^{5} + 30 x^{4} + 120 x^{3} + 360 x^{2} + 720 x + 720\right) e^{- x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(x^{6} + 6 x^{5} + 30 x^{4} + 120 x^{3} + 360 x^{2} + 720 x + 720\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(x^{6} + 6 x^{5} + 30 x^{4} + 120 x^{3} + 360 x^{2} + 720 x + 720\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$