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Resolución de integrales/ y*(lny-1)^2

Integral de y*(lny-1)^2 dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |                2   
 |  y*(log(y) - 1)  dy
 |                    
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0
∫01y(log⁡(y)−1)2 dy\int\limits_{0}^{1} y \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)^{2}\, dy 
Integral(y*(log(y) - 1)^2, (y, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      y(log⁡(y)−1)2=ylog⁡(y)2−2ylog⁡(y)+yy \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)^{2} = y \log{\left(y \right)}^{2} - 2 y \log{\left(y \right)} + y

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(y)u = \log{\left(y \right)}.

        Luego que du=dyydu = \frac{dy}{y} y ponemos dudu:

        ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        y2log⁡(y)22−y2log⁡(y)2+y24\frac{y^{2} \log{\left(y \right)}^{2}}{2} - \frac{y^{2} \log{\left(y \right)}}{2} + \frac{y^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2ylog⁡(y)) dy=−2∫ylog⁡(y) dy\int \left(- 2 y \log{\left(y \right)}\right)\, dy = - 2 \int y \log{\left(y \right)}\, dy

        1. que u=log⁡(y)u = \log{\left(y \right)}.

          Luego que du=dyydu = \frac{dy}{y} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          y2log⁡(y)2−y24\frac{y^{2} \log{\left(y \right)}}{2} - \frac{y^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −y2log⁡(y)+y22- y^{2} \log{\left(y \right)} + \frac{y^{2}}{2}

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫y dy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

      El resultado es: y2log⁡(y)22−3y2log⁡(y)2+5y24\frac{y^{2} \log{\left(y \right)}^{2}}{2} - \frac{3 y^{2} \log{\left(y \right)}}{2} + \frac{5 y^{2}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      y(log⁡(y)−1)2=ylog⁡(y)2−2ylog⁡(y)+yy \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)^{2} = y \log{\left(y \right)}^{2} - 2 y \log{\left(y \right)} + y

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(y)u = \log{\left(y \right)}.

        Luego que du=dyydu = \frac{dy}{y} y ponemos dudu:

        ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        y2log⁡(y)22−y2log⁡(y)2+y24\frac{y^{2} \log{\left(y \right)}^{2}}{2} - \frac{y^{2} \log{\left(y \right)}}{2} + \frac{y^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2ylog⁡(y)) dy=−2∫ylog⁡(y) dy\int \left(- 2 y \log{\left(y \right)}\right)\, dy = - 2 \int y \log{\left(y \right)}\, dy

        1. que u=log⁡(y)u = \log{\left(y \right)}.

          Luego que du=dyydu = \frac{dy}{y} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          y2log⁡(y)2−y24\frac{y^{2} \log{\left(y \right)}}{2} - \frac{y^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −y2log⁡(y)+y22- y^{2} \log{\left(y \right)} + \frac{y^{2}}{2}

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫y dy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

      El resultado es: y2log⁡(y)22−3y2log⁡(y)2+5y24\frac{y^{2} \log{\left(y \right)}^{2}}{2} - \frac{3 y^{2} \log{\left(y \right)}}{2} + \frac{5 y^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    y2(2log⁡(y)2−6log⁡(y)+5)4\frac{y^{2} \left(2 \log{\left(y \right)}^{2} - 6 \log{\left(y \right)} + 5\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    y2(2log⁡(y)2−6log⁡(y)+5)4+constant\frac{y^{2} \left(2 \log{\left(y \right)}^{2} - 6 \log{\left(y \right)} + 5\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

y2(2log⁡(y)2−6log⁡(y)+5)4+constant\frac{y^{2} \left(2 \log{\left(y \right)}^{2} - 6 \log{\left(y \right)} + 5\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                             2    2    2         2       
 |               2          5*y    y *log (y)   3*y *log(y)
 | y*(log(y) - 1)  dy = C + ---- + ---------- - -----------
 |                           4         2             2     
/
∫y(log⁡(y)−1)2 dy=C+y2log⁡(y)22−3y2log⁡(y)2+5y24\int y \left(\log{\left(y \right)} - 1\right)^{2}\, dy = C + \frac{y^{2} \log{\left(y \right)}^{2}}{2} - \frac{3 y^{2} \log{\left(y \right)}}{2} + \frac{5 y^{2}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5/4
54\frac{5}{4} 
=
= 
5/4
54\frac{5}{4} 
5/4
Respuesta numérica [src] 
1.25
1.25

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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